Einstieg in ...   Mathematik, Komplexe Zahlen




Komplexe Zahlen



Einfacher als gedacht, denn fast alle Rechenregeln bleiben erhalten.
Und lassen Sie sich überraschen, was ein "i" bewirken kann.


Vorbemerkung und Wiederholung

Aus der Mittelstufe wissen wir noch:

\((14 - 5) * (17 - 11) = 9 * 6 = 54 \).

Oder man rechnet

\(14*17 - 5*17 -14*11 + 5*11 = 238 - 85 - 154 + 55 = 54 \).

Wir sehen also: \((-5)*(-11) = 55\) , oder kürzer: "Minus mal Minus ergibt Plus".
Wäre das nicht so, dann würden Addition und Multiplikation sofort zusammenbrechen.
Und es gilt allgemein fast immer: "Plus mal Plus ergibt Plus".

Mit einer Ausnahme:

\(i*i = -1 \). Oder anders geschrieben \(i^{2} = -1 \).

Gleichzeitig gilt:

\((-i)*(-i) = -1 \).

Geben Sie einfach mal die Zeichenfolge i*i und dann (-i)*(-i) in das google-Suchfeld ein!


Eine komplexe Zahl sieht so aus:

\(4 + 7*i\).

Das sind fünf Symbole in einer Zahl: 4, +, 7, * und das "i" !


WICHTIGE HINWEISE:

- "i" nennt sich imaginäre Einheit.

- "i" ist keine Variable, wir setzen keine Werte ein, es gilt \(i^{2} = -1 \).

- Wir berechnen nicht 7*i. Wir berechnen auch nicht 4+7*i oder 4+7.

- Wenn 4+7*i das Ergebnis einer Berechnung ist, dann bleibt die Zahl so stehen.

- "4" ist der Realteil dieser komplexen Zahl, "7" ist der Imaginärteil.

- Realteil UND Imaginärteil sind reelle Zahlen.


Reelle Zahlen sind:

\(-23 ~~~~~~~~~ \) \(\sqrt{5} ~~~~~~~~~ \) \(0 ~~~~~~~~~ \) \(114,375 ~~~~~~~~~ \)

diese Menge wird abgekürzt mit "\(\mathbb{R}\)".
Bei den reellen Zahlen ist der Imaginärteil gleich Null.
\(\mathbb{R}\) ist eine Teilmenge von \(\mathbb{C}\).


Imaginäre Zahlen sind:

\(-9i ~~~~~~~~ \sqrt{2}i ~~~~~~~~ 24i ~~~~~~~~\)

Der Realteil ist Null.
Auch die imaginären Zahlen sind eine Teilmenge von \(\mathbb{C}\),
sie haben aber keine eigene Abkürzung.


ALLE Zahlen bilden die Menge der komplexen Zahlen, man bezeichnet sie mit "\(\mathbb{C}\)".

\(1,275 - 3i ~~~~~~~~ \) \(\frac{-17}{9} + \sqrt{2}i ~~~~~~~~~~ \) \(5i ~~~~~~~~~~ \) \(-23 ~~~~~~~~~~~ \) \(\sqrt{5} ~~~~~~~~~~~ \) \(0 ~~~~~~~~~~~ \)



Addition und Subtraktion

Das ist einfach. Wir addieren (oder subtrahieren) die Realteile und Imaginärteile getrennt.

\((5 + 17i) ~~~ + ~~~ (7 + 8i) ~ = ~ 12 + 25i \)

\((4 + 2i) ~~~ - ~~~ (7 - 22i) ~ = ~ -3 + 24i \)



Multiplizieren

Das geht genauso, wie bei (a+b)*(c+d) = a*c + a*d + b*c + b*d

\((2 + 7i) ~~~ * ~~~ (5 + 9i) \)

\( = 2*5 + 7i*5 + 2*9i + 7i*9i \)

\( = 10 + 35i +18i -63 \), wegen \( i^2=-1 \)

\( = -53 + 53i \)


Übungen, berechnen Sie:

1. \((2 + 3i) ~~~ * ~~~ (4 - 5i) \)

2. \((8 + 3i) ~~~ * ~~~ (8 - 3i) \)

In google vergleichen (mit copy + paste in das Suchfeld übertragen): (8 + 3*i) * (8 - 3*i)

3. \(z^2 + 2z +3, ~ mit ~ z= -1 + \sqrt{2}i \)


Dividieren

Tritt im Nenner ein Imaginärteil auf, dann muss man den Bruch erweitern und zwar
mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. "Konjugiert" bedeutet, dass das Vorzeichen
des Imaginärteils wechselt. Das sieht so aus:

\(z=23-17i ~ => \overline{z}=23+17i\)

Beispiel für eine Division:

\(\frac{7+4i}{8+9i} ~ = ~ \frac{(7+4i)(8-9i)}{(8+9i)(8-9i)} ~ = ~ \frac{56+32i-63i-36i^2}{64+72i-72i-81i^2} ~ = ~ \frac{92-31i}{145} ~ = ~ 0,6345-0,2138i \)


Potenzen von i

\( i^0=1 \)

\(i^1=i \)

\(i^2=-1 \)

\(i^3=-i ~~~~ = i^2*i \)

\(i^4=1 ~~~~ = i^2*i^2 \)

\(i^5=i \)

\(i^6=-1 \)

usw.


\(i^4=1 ~ \) bedeutet nicht, dass \(i=1 ~ \) ist. Man darf aber \(i^4 ~ \) durch "1" ersetzen.
\("i" ~\)ist eine Zahl, die es nicht gibt, ist also "imaginär".



Der Betrag einer komplexen Zahl

Gegeben: \(z=6+7i\)

Wir berechnen die Wurzel aus der Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil.

\(|z|=\sqrt{ 6^{2} + 7^{2}} = \sqrt{85} = 9,22... \)

Das ist nichts anderes, als der Satz des Pythagoras. \(|z|\) ist die Hypotenuse,
Realteil und Imaginärteil sind die Katheten. Wenn wir die komplexen Zahlen zeichnen,
dann sehen wir warum.

Der Betrag einer komplexen Zahl ist stets eine reelle, nichtnegative Zahl.


Übungen

Gegeben: \(z=6-7i\). Wie groß ist \(|z|\)?

Gegeben: \(z=1+i\). Wie groß ist \(|z|\)? Hinweis: \(1+i=1+1i\)




Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene



Die Gaußsche Zahlenebene ist ein Koordinatensystem mit zwei Achsen, die senkrecht
aufeinanderstehen. Dazu folgende Hinweise:

- Die senkrechte Achse (Im) enthält als Markierungen die imaginären Zahlen.
  In unseren Beispielen geben wir die Imaginärteile (-2, -1, 0, 1, 2, 3...) an, andere Autoren
  schreiben -2i, -i, 0, i, 2i, 3i ... Manchmal werden die Achsen statt mit Im und Re mit
  y und x bezeichnet.

- Für das Rechnen mit reellen Zahlen genügt der Zahlenstrahl,
  in der komplexen Zahlenebene bewegen wir uns in zwei Dimensionen.
  Leider lassen sich Funktionen schlecht darstellen, unter Umständen
  benötigen wir zwei Koordinatensysteme.

- Die Multiplikation zweier imaginärer Zahlen führt uns auf die reelle Achse,
  umgekehrt passiert das nicht.

- Einen Vergleich zweier komplexer Zahlen durch eine Ordnungsrelation \(z_{1} <z_{2} \) oder \( z_{3} >z_{4} \)
  gibt es nicht, aber es können die Beträge \(|z_{1}|\) und \(|z_{2}|\) verglichen werden.



Wir wollen die Zahl \(z=7+3i\) in die Gaußsche Zahlenebene eintragen. Zunächst gehen wir auf der
reellen Achse 7 Längeneinheiten nach rechts und dann parallel zur imaginären Achse 3 Längeneinheiten
nach oben. Der Betrag, also die Länge von z ist:

\(|z|=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58} ~ = ~ 7,62... ~ LE\).

Das "LE" werden wir in Zukunft weglassen, bei einer Multiplikation im Komplexen entstehen
keine Quadratmeter oder Kubikmeter aus Längeneinheiten.






Hier sieht man \(z=-4i\). Der Betrag ist direkt zu erkennen.






Im 3. Beispiel haben wir \(z=-9-2,5i ~ \) und \( ~ \overline{z}=-9+2,5i\) .

Übungen: Berechnen Sie \(z+\overline{z} ~, ~ z-\overline{z} ~ \) und \( ~ \overline{z}-z\) .







Zeichnerische Addition

In drei Schritten zeigen wir die Addition \((5 + 5i) ~ + ~ (-3 + 2i) \).

Den ersten Summanden einzeichnen:

Die Komponenten des zweiten Summanden ausgehend von der Pfeilspitze des ersten anfügen:

Die zweite Pfeilspitze zeigt das Ergebnis an:




Zeichnerische Subtraktion

Wir ermitteln \((4 + 2i) ~ - ~ (2 + 3i) \).

Dazu zeichnen wir beide Zahlen ein. Zunächst durchlaufen wir den Subtrahenden
2+3i in entgegengesetzter Pfeilrichtung (wegen des Minuszeichens) und erreichen
den Ursprung des Koordinatensystems. Nun führen wir eine Addition aus, indem wir
den Minuenden 4+2i im Ursprung anfügen. Die Verbindung von Startpunkt zum Zielpunkt
ergibt die gesuchte Differenz.





Übungen: Zeichnen Sie \(~(2 + 3i) ~ - ~ (4 + 2i)~\) und \(~-(2 + 3i) ~ - ~ (4 + 2i) \).




Zeichnerische Multiplikation

Zu berechnen ist das Produkt \((2 + i) ~ * ~ (2 + 6i) \).

Dabei multipliziert man die Beträge beider Zahlen und hat den
Betrag des Produkts als Länge. Und man addiert die Winkel der
beiden Faktoren, den sie jeweils mit der positiven reellen Achse bilden.

Das komplette Verfahren kann man sich auf youtube ansehen, das uns von
Prof. Edmund Weitz vorgestellt wird.






Übungsvorschlag: Zeichnen Sie \(~(4 + 7i) ~ * ~ i~\) .




Wiederholung Trigonometrie

Alles über Winkelfunktionen ist hier als Wiederholung gedacht, wenn etwas zu schnell geht,
dann hilft youtube mit Lehrerschmidt und anderen weiter.

Ein Kreis ist eingeteilt in 2*2*2*3*3*5 = 360 gleich große Teile. Ein Grad ist der 360te Teil eines
Kreises. Ein Viertelkreis beträgt 90° und heißt rechter Winkel.

Das folgende Bild zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel \(\alpha\) = 24°.
Daraus läßt sich mit einem Taschenrechner das Verhältnis aus der Gegenkathete von \(\alpha\)
dividiert durch die Hypotenuse ermitteln. Das ist der Sinus des Winkels \(\alpha\).
Die Eingabe von sin (24°) führt zu dem Ergebnis 0,40673...
Man muss darauf achten, dass der Taschenrechner auf Grad (deg) eingestellt ist.

Das Ergebnis kann man nachprüfen, indem man die Linienlängen von GK und HY
nachmisst und dann dividiert.

Wenn man zusätzlich zum Winkel \(\alpha\) eine weitere Seitenlänge des Dreiecks kennt,
lässt sich das gesamte Dreieck berechnen.



Übungsvorschlag:

Gegeben: Ein rechtwinkliges Dreieck mit \(\alpha\) = 53°, Hypotenuse = 15 cm.
Gesucht: die Länge beider Katheten. Hinweis: Die Winkelsumme eines Dreiecks ist
180°, der andere Winkel \(\beta\) ist damit 90°-53°=37°. Die Gegenkathete des Winkels \(\alpha\)
ist gleichzeitig die Ankathete des Winkels \(\beta\).


Haben wir umgekehrt das Seitenverhälnis aus Gegekathete:Hypotenuse gegeben, dann können
wir mit Hilfe von arcsin den Winkel berechnen. Auf dem Taschenrechner ist das meistens
die Taste \(sin^{-1}\). Achtung: das ist nicht der Kehrwert, sondern die Umkehrfunktion.

Ferner erhalten wir mit Anwendung des Satzes von Pythagoras \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = ~1\).

Eine andere Schreibweise ist \((sin~\alpha)^2 ~+~ (cos~\alpha)^2 = ~1 \).


Übungsvorschlag:

Gegeben ist das Verhältnis GK:HY=0,669106. Wie groß ist der Winkel \(\alpha\)?


Weitere Winkelfunktionen

- Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis Ankathete dividiert durch Hypotenuse
- Der Tangens eines Winkels ist Gegenkathete dividiert durch Ankathete

Die Begriffe Kosekans, Sekans und Kotangens kommen nur selten vor, es handelt sich um Kehrwerte.

tan (90°) ist nicht definiert.


Umrechnung in das Bogenmaß

Es ist auch eine andere Teilung eines Kreises üblich: das Bogenmaß. Hier nehmen wir
einen Kreis mit dem Radius 1. Wegen der Kreisformel \(U=2r\pi\) ist der Umfang des ganzen
Kreises 2\(\pi\). Der gestreckte Winkel von 180° ist umgerechnet \(\pi\) und der rechte Winkel
90° ist \(\pi\)/2. Die Zahlen im Bogenmaß sind kleiner, wir haben einen Umrechnungsfaktor von
von 360°/2\(\pi\) = 57,29578... also 1 rad = 57,29578°.

Wichtig: Immer den Taschenrechner korrekt einstellen. Bei Grad auf deg (degrees),
beim Bogenmaß auf rad (radiant). Die "Einheit" rad, die eigentlich keine ist, sondern nur Teil
eines Kreises, wird meistens weggelassen. Wir schreiben also entweder \(sin~(\pi/8)\)
oder \(sin~22,5°\).



Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten

Eine komplexe Zahl kann man auch in ein Koordinatensystem eintragen, wenn man
ihren Betrag, also die Länge kennt und den Winkel zwischen Betrag und der reellen Achse.
Das sieht dann so aus:

\(z=(5; 53°)\). Sind alle Einheiten der Seitenlängen natürliche Zahlen, dann haben wir es
mit einem Pythagoreischen Tripel zu tun (3; 4; 5). Ein weiteres Beispiel ist (5; 12; 13).


Allgemein schreibt man \(z=(r; \phi)\), wobei r=\(|z|\).
Wir verwenden bei den komplexen Zahlen für den Winkel den griechischen Buchstaben
"phi". Die Darstellung im Bild weicht leider von der in den Formeln leicht ab.
Mit den Polarkoordinaten kann man aber nicht rechnen, wir brauchen dazu
die trigonometrische Darstellung oder die Exponentialform. Die Umformungen sind sehr einfach,
das folgt später.



Komplexe Zahlen in trigonometrischer Darstellung

Komplexe Zahlen können auch in Exponenten auftauchen. Um Vorurteile gegenüber "i" abzubauen,
empfehlen wir folgende Berechnungen mit google, dabei gibt man die Operationen direkt
in das google-Suchfeld ein oder kopiert mit copy + paste. In den folgenden Beispielen
ist der Realteil im Exponenten gleich Null.

2 hoch (3*i)
2 hoch (7*i)
100 hoch (6*i)
1000 hoch (26*i)
Zu sehen ist, dass Realteil und Imaginärteil stets zwischen -1 und +1 liegen.

2,71828 hoch (3,1415*i)
e hoch (pi*i)

(e hoch (pi*i))+1    ... und das ist die Eulersche Identität!

wird fortgesetzt...