Einstieg in ...   Mathematik, vollständige Induktion




2. Beispiel

Wir beginnen jetzt mit dem Induktionsanfang, wie es üblich ist. Das Fragezeichen
über dem Gleichheitszeichen lassen wir weg. Wir formen in diesem Beispiel
nur die linke Seite der Induktionsbehauptung um. Das erfordert, dass man die
Möglichkeiten des Ausklammerns und binomische Formeln erkennt.

Beweisen oder widerlegen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n \( \geq{1} \) gilt:

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}~.\)


Induktionsanfang

Wir setzen n=1:

\(1^3 ~ = \frac{1^2(1+1)^2}{4}\,\)

1=1, wahre Aussage.


Induktionsschluss

- Induktionsvoraussetzung:

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}~.\)

- Induktionsbehauptung:

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~.\)

Beweis der Induktionsbehauptung mit Anwendung der Induktionsvoraussetzung:

\(\underbrace{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + ~ ... ~ + ~ k^3 }_{Die ~ rechte ~ Seite ~ der ~ IV ~ einsetzen} + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\)

\(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~(k+1)^3 ~ = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}~.\)

Umformen der linken Gleichungsseite:

\(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\, + ~ \frac{4(k+1)^3}{4} ~ \), Erweitern des zweiten Summanden

\(=\frac{k^2(k+1)^2\, + ~ 4(k+1)^3}{4} ~ \), auf die rechte Seite sehen, um die Vorgehensweise herauszufinden

\(=\frac {(k+1)^2 [k^2+4(k+1)]} {4} ~ \), Ausklammern von \((k+1)^2\)

\(=\frac {(k+1)^2 (k^2+4k+4)} {4} ~ \), Binom im zweiten Faktor erkennen

\(=\frac {(k+1)^2 (k+2)^2} {4} ~ \)

\(=\frac {(k+1)^2 ((k+1)+1)^2} {4} ~ \)

Und das ist gleich der rechten Seite der Induktionsbehauptung.     q.e.d.


Anmerkung: alternativ kann man auf beiden Seiten der IB die Klammern entfernen wie im ersten Beispiel.
Dabei kann man sich jedoch leichter verrechnen. Nach Beseitigung der Nenner lautet die IB jetzt:

\(k^2(k+1)^2 + 4(k^3+3k^2+3k+1)~ = ~(k+1)^2(k+2)^2 \)

\(k^2(k^2+2k+1)+4k^3+12k^2+12k+4~ = ~ (k^2+2k+1)(k^2+4k+4)\)

\(k^4+2k^3+k^2+4k^3+12k^2+12k+4 ~ = ~ k^4+2k^3+k^2+4k^3+12k^2+12k+4 \)

q.e.d.